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    发布时间:2020-08-24 13:00    浏览:

    現代撲克理論02-博奕論基礎-2

    無偏倚原則(TheIndifferencePrincipe)

    WiTipton在其著作ExpertHeadsUpNoimitHod’em,Voumes1:OptimaandExpoitativeStrategies中非常精確地定義了無偏倚原則。

    根據定義,均衡策略在面對一個采用自己的GTO策略的對手時(在這種情況下,對手的每手牌都是以盡可能有利可圖的方式游戲)是最大程度剝削策略。因此,一手牌能夠以兩種不同方式游戲的唯一方式是這兩個行動具有恰好相同的EV;也就是說,如果牌手對他的行動選擇不偏不倚。這被稱作無偏倚原則:如果一個牌手在納什均衡中采用對一手牌采用一種混合策略,那么他用非零頻率采取的所有行動必定具有相同的EV。這是一個有力的聲明,因為它告訴我們關于對手GTO策略的一個事實。如果一個牌手對于兩種選擇不偏不倚,必定是他的對手的游戲方式讓他那么做。

    這個原則與平衡思想密切相關。回想我們之前的例子:我們知道按鈕玩家的GTO全壓范圍是58.3%起手牌。他無法用高百分比的起手牌全壓是因為大盲玩家跟注足夠多,從而按鈕玩家無法用他范圍的低端部分(比如43s)做有利可圖的全壓。如果按鈕玩家可以用范圍的低端部分有利可圖地全壓,那么他將入繼續往他的全壓范圍加入一些牌。與此同時,如果按鈕玩家用43s全壓是虧錢的,他將選擇不用43s全壓,另一些牌將成為其范圍的新底端。因此,大盲玩家必須用恰好數量的牌跟注,使得按鈕玩家全壓范圍中的最差牌是不虧不盈的,或者換句話說,使得按鈕玩家對于全壓和棄牌不偏不倚。因為43s對全壓或棄牌不偏不倚,按鈕玩家對它采用一種混合策略:74%的時候全壓,26%的時候棄牌。如果按鈕玩家在超過74%的時候用43s全壓,大盲玩家可以通過用更多牌跟注來剝削,使得43s是一手負EV的全壓。

    現代撲克理論02-博奕論基礎-2

    與此同時,在納什均衡中,大盲玩家只能用37.4%的牌有利可圖地跟注。他跟注范圍的底端(Q6s)是不虧不盈的,而且也采用一種混合策略:39%的時候跟注,61%的時候棄牌。如果大盲玩家用在超過61%的時候用Q6s跟注,按鈕玩家可以通過稍緊一點的全壓剝削,使得Q6s是一手負EV的跟注牌。

    通靈玩具游戲(TheCairvoyanceToyGame)

    考慮以下簡化撲克場景:

    牌例

    兩個牌手:牌手1和牌手2

    底池大小:100美元

    有效籌碼量:100美元

    下注回合:河牌圈

    牌手1范圍:AA,QQ

    牌手2范圍:KK

    公共牌:33322

    牌手1位置:不利位置

    牌手2位置:有利位置

    兩個牌手是通靈的(cairvoyant):他們知道彼此的策略。

    每個牌手的價值是多少?

    在這個假想的場景中,牌手1有一個兩極化范圍。AA代表堅果牌,QQ代表空氣牌,因為它對抗牌手2由KK(抓詐牌)組成的緊縮范圍無法在攤牌時獲勝。

    每個牌手的范圍的底池權益(equity)是多少?

    牌手1在拿著AA的一半時候贏得底池,并在拿著KK的一半時候輸掉底池。因此每個牌手在這個底池的底池權益是50%。

    如果每個牌手的底池權益是50%而底池有100美元,每個牌手的EV是多少?

    謹記,底池權益不考慮翻后玩法,因此,即使兩個牌手都有50%底池權益,也未必意味著他們將獲得底池的50%。

    如我們在解決這個玩具游戲后所見,牌手1的EV事實上是75美元,而牌手2的EV只有25美元,即使兩個牌手都完美地游戲!

    排除劣勢策略(EiminatingDominatedStrategies)

    對下注放棄AA

    AA總是會獲勝,因此用AA跟注一個任何尺度下注的EV是:

    用AA跟注的EV=底池大小+下注額=100美元+下注額

    放棄AA的EV=0

    放棄AA明顯是一種應該從不使用的劣勢策略(DominatedStrategies)。

    用QQ跟注下注

    放棄QQ的EV=0

    QQ對抗KK永遠無法在攤牌時獲勝。因此,用QQ跟注一個任何尺度下注的EV是:

    用QQ跟注的EV=-下注額

    用一種無法獲勝的牌跟注一個下注是劣勢策略,因此牌手1應該總是對下注放棄QQ,因為不管下注額是多少跟注都是輸錢的。

    用KK下注或加注

    因為牌手1從不放棄AA也從不用QQ跟注,用Kk下注達不到任何目的。當牌手1拿著AA時,下注輸掉更多資金,因此用KK下注是一種應該從不使用的劣勢策略。

    用AACheck

    我們知道牌手2從不用KK下注,因此如果牌手1用AAcheck,牌手2將隨后check,牌手1將永遠賺不到額外的下注,因此牌手1應該總是用AA下注。

    排除所有劣勢策略后,這場博弈可以簡化成以下幾個問題:

    牌手1的最優下注尺度是什么?

    牌手1用QQ詐唬的頻率是多少?

    牌手2用KK跟注的頻率是多少?

    如果調換兩個牌手的位置會發生什么情況?

    牌手1的最優下注尺度是全壓。將來我們將論證這一點,但我們暫且假定牌手1的唯一下注尺度是全壓。

    排除純粹策略(RuingOutPureStrategies)

    我們知道牌手1應該總是用AA下注,但QQ應該如何游戲?我們現在開始分析。

    純粹策略A:牌手1總是用QQ詐唬

    當牌手1總是用他的QQ詐唬時,牌手2的EV是:

    抓詐唬EV=[%W*$W]-[%*$R]=0.5x200–0.5x100=100–50=50美元

    (牌手2在牌手1詐唬的一半時候贏得底池,在牌手1拿著AA的一半時候輸掉底池。)

    我們已經知道,牌手2在這個游戲中的EV應該是25美元,因此牌手1總是用QQ詐唬牌的策略是次優的,因為它給了牌手2超過其真實期望值(25美元)的更高收益(50美元)。

    納粹策略B:牌手1從不用QQ詐唬

    如果牌手1從不用QQ詐唬,牌手2就沒有任何理由用KK跟注,因為他總是輸。

    在那種情況下,牌手1將用他的AA下注并從不得到支付,而每當他拿著QQ時,牌局將以兩方check且牌手2的KK攤牌獲勝結束。若采用這種策略,牌手2的EV是:

    EV=0.5x100=50美元

    同樣,這種玩法給了牌手2超過其期望值的收益。

    牌手1解決方案

    我們知道牌手2將從不用KK下注,因此牌手1用AA得到價值的唯一方式是下注,但如果牌手1從不用QQ詐唬,用KK跟注將是-EV的,這意味著牌手2應該總是棄牌。如果牌手1總是用QQ詐唬,牌手2用KK跟注將是+EV的,這意味著他應該總是跟注。

    我們需要找出牌手1的最優詐唬頻率,從而牌手2用KK跟注賺不到錢,也虧不到錢。換句話說贵宾厅棋牌送28,牌手1需要使牌手2對跟注或棄牌不偏不倚:

    牌手2跟注的EV=牌手2棄牌的EV

    我們根據定義知道棄牌的EV是零,因此:

    牌手2跟注的EV=0

    使用我們的EV公式:

    EV=[%W*$W]-[%*$R]

    我們做一下參數替換:

    %W=W

    %=1–W

    $W=b+p

    $R=b

    [W*(b+p)]–[(1-W)*b]=0

    這里:

    B表示下注額,p表示底池大小

    為了對跟注和棄牌不偏不倚,牌手2的獲勝頻率必須是:

    這恰好與他的底池賠率一致:

    這個結果應該并不出乎意料,因為牌手2贏得底池的頻率和牌手1詐唬的頻率一致。我們知道,因為河牌圈不存在后續出牌,底牌賠率簡單地告訴一個牌手為了不虧不盈應該用怎樣的頻率跟注。因此,為使牌手2對跟注和棄牌不偏不倚,牌手1必須以等于牌手2底池賠率的頻率詐唬。

    現在我們要做的只是找出牌手1用QQ下注的頻率,從而他的下注范圍是67%價值牌和33%詐唬牌。

    牌手1的詐唬頻率

    牌手1的價值下注頻率

    牌手1的詐唬價值比(Buff-to-VaueRatio)

    牌手1需要在他的下注范圍中為他的每兩個價值牌組合搭配一個詐唬牌組合,因此他應該以50%的頻率用他的QQ下注。

    牌手1的總下注頻率

    牌手1一半的時候拿著AA,并在100%的時候用它們下注:

    0.5*100%=50%

    牌手1一半的時候拿著QQ,并在50%的時候用它們下注:

    0.5*0.5%=25%

    總下注頻率=用AA下注的頻率+用QQ下注的頻率=50%+25%=75%

    總check頻率=100%-75%=25%

    牌手1的最終EV數據

    AA的EV:

    用AA下注的EV=(牌手2棄牌的EV*牌手2的棄牌率)+(牌手2跟注的EV*牌手2的跟注率)=100*0.5+200*0.5=50+100=150美元

    用AAcheck的EV=底池大小*底池權益=100*100%=100美元

    用AA下注的EV是150美元,明顯高于用它check的EV(100美元)。

    AA的EV=(用AA下注的EV*AA的下注率)+(用AAcheck的EV*AA的check率)=150*100%+100*0%=150美元

    QQ的EV:

    用QQ下注的EV=(100*0.5)+((-100)*0.5)=50-50=0

    QQ的EV=(用QQ下注的EV*QQ的下注率)+(用QQcheck的EV*QQ的check率)=0*QQ的下注率+0*QQ的check率=0

    那么牌手1在這個游戲中的EV是:

    EV=AA的EV*發到AA的頻率+QQ的EV*發到QQ的頻率=150*50%+0*50%=75美元

    牌手2解決方案

    我們知道牌手1總是用AA下注,因此當我們check時,他們放棄用QQ詐唬。這意味著當牌手2看到牌手1check時,他應該隨后check,用KK攤牌獲勝。因為牌手1總是放棄QQ,用KK下注沒有任何價值。為了解決牌手2的游戲策略,我們只需要找出牌手1下注時他的策略和EV。

    如果牌手2以一種1/3時候詐唬的平衡策略。

    牌手2跟注的EV是:

    EV=[%W*$W]–[%*$R]=1/3*200–2/3*100=200/3–200/3=0

    如果牌手1采用納什均衡策略,牌手2是跟注還是棄牌并不重要,因為兩個行動的EV都是零。雖說如此,牌手2仍然需要以上定頻率跟注,否則牌手1可以偏離平衡,通過更頻繁地詐唬來剝削他。

    例如,如果牌手2選擇從不用KK跟注,牌手1可以開始用QQ100%詐唬,贏得整個底池。如果牌手2選擇總是用KK跟注,那么牌手1可以通過不再用QQ詐唬來剝削牌手2。

    我們需要找出牌手2的最優跟注頻率,從而牌手1用QQ詐唬時賺不到錢,但也不會輸錢。換句話說,牌手2必須使牌手1在拿著QQ時對詐唬和check不偏不倚。

    牌手1詐唬的EV=牌手1check的EV

    我們知道牌手1用QQcheck的EV為零,因為他攤牌時會輸,因此:

    牌手1詐唬的EV=0

    使用我們的EV公式:

    棄牌的EV*牌手2棄牌率+跟注的EV*牌手2跟注率=0

    我們做一下參數替換:

    牌手2跟注率=c

    牌手2棄牌率=1–c

    棄牌的EV=p

    跟注的EV=-b

    [p*(1-c)]+[-b*(c)]=0

    這里:

    B表示下注額,p表示底池大小

    這個數字就是最低防守頻率(MDF)。

    為了使牌手1拿著QQ時對詐唬和check不偏不倚,牌手2必須在50%的時候用KK跟注。解決這個問題的另一種方式是求解為使牌手1不偏不倚P2的棄牌率必須是多少。我們可以用EV公式進行計算。

    棄牌的EV*牌手2棄牌率+跟注的EV*牌手2跟注率=0

    我們做一下參數替換:

    牌手2跟注率=1-f

    牌手2棄牌率=f

    棄牌的EV=p

    跟注的EV=-b

    為使牌手1拿著QQ時對詐唬和check不偏不倚,P2必須在50%的時候放棄KK。

    注意,b/(b+p)的值與牌手1的詐唬價值比相同。

    這個數字被稱作Apha,它表示為使詐唬不虧不盈需要的詐唬成功率。在本例中,如果牌手1用QQ詐唬在超過50%的時候奏效,那么詐唬將是有利可圖的。

    因為棄牌頻率和跟注頻率是互補數字,他們應該相加為1。因此,如果你知道其中一個,你總是可以輕易算出另一個。牌手1的最低防守頻率也可以這樣算出來:

    Apha和MDF是GTO的兩個關鍵概念,也將在書中反復用到。

    牌手2的最終EV數據

    牌手2跟注的EV=0

    牌手2棄牌的EV=0

    牌手2Check的EV=底池大小*牌手2的底池權益(Equity)

    因為攤牌時KK總是打敗QQ,牌手2對抗QQ的底池權益總是100%。

    牌手2Check的EV=100*100%=100美元

    牌手1只在50%的時候用他的QQcheck,因此

    牌手2check的EV=100*25%=25美元

    通靈玩具游戲完整解決方案總結

    底池大小:100美元

    籌碼深度:100美元

    公共牌:33322

    牌手1:EV75美元

    AA:下注100美元(100%),Check(0%)

    QQ:下注100美元(50%),Check(50%)

    牌手1總下注頻率:75%

    牌手1總check頻率:25%

    牌手2:EV25美元

    對抗Check:用KK100%check

    對抗100美元下注:50%的時候用KK跟注,50%的時候棄牌

    決策樹(處于納什平衡時)

    關于這個完整解決方案我們仍有兩個問題需要回答。

    如果調轉兩個牌手的位置會發生什么?

    在兩極化范圍對抗抓詐牌的場合,位置并不重要!如果牌手2處在不利位置,他不會用Kk下注,因為那是劣勢策略,因此他的納什均衡策略應該是100%check。

    牌手2在有利位置時仍然想用他的AA100%下注,因為隨后check是劣勢策略,而且牌手1仍然想以b/(b+P)的頻率用QQ詐唬。

    牌手1的最優下注尺度是什么?

    如果牌手1的范圍完美兩極化而牌手2的范圍是緊縮的,牌手1的最優下注尺度總是全壓!如我們在表10所見,牌手1的EV隨著下注尺度增加而上升。這是因為,下注尺度越大牌手1就可以越頻繁地詐唬。在這個游戲中,牌手2只在牌手1用QQcheck的分支是賺錢的。因此,那個分支越少發生,牌手2賺到的錢就越少。所以,牌手1的EV在下注盡可能大時是最大化的。如果牌手1可以下注無窮多的資金,他將獲得底池的100%份額

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